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      쎡拉普拉斯也觉得柯西的文章数目太多了ᗊ,让人目不暇接。觉得柯西主要一有空脑子里就会想数学的事情,很多事情仅仅是一种讲究,根本就没䄠必要去当一会儿事。

      拉普拉斯툯对柯西说:“你媫的论文太多,繁杂而缭乱,这对研究数学不利。你应该少而简单点才对。”

      柯西一听到拉普拉斯如此说,心想,这样不是第一次嚿被人质疑了。或櫆许有的人就是因为嫉妒⡩吧。柯僺西说:“你说说看,数学走到今天,还能怎么简单得下来。而且ዣ,你给你一个绝望悭的消息,数学以后可能会越来越多,一生都끡不会有人学完。”

      捣拉普拉斯说:“不会吧,尽量还是有几句厂话就点透一个亱人䕱吧。”

      㵉柯西说ɴ:“大方向肯定可以点透一个人,但是数学中有很本多重要的细节﫫。釵如果你不当回事儿,别人可䌈以找出其中的麻烦。”

      拉普拉斯跟柯西说:“即使有了发现,有必要写这么多吗?你的文章大家都看不完。”

      㧃柯西说:“确实多了些,但是我的东西还是需要细细的看。因韮为,我在研究数学靨的过程中发现了一些惊人的东西。我敢保证,这肯眪定是数学的未来。”

      拉普拉斯说:“你的那쑂些东西是未来?”

      聓 柯西说:“就比如微积分,如果不使用我的这种语言来描述。而仅仅用牛顿和莱布尼茨的那种描述,那就会被无穷小到零这样的问题ዬ来反驳。” 뉯

      鞔 拉普拉斯说:꒶“我认为初学者不应该使用你这种描述方式,毕竟微积分是一个公式,本领不算难,但经过你这种严谨的方法꺇,갟反༫而弄得难了。让很勿多本来可以学会的学生,都知难而ᅝ退了。”

      柯西说:“那也得这样来,人就是这样的,ꪔ你简单点,他们挑你毛病,你仔细点,对琄方就学不会。只能说,錾被吓退的,仅仅是因为还不够爱数学而已。”

      拉普拉斯无话可说,但是依然不太服气。

      였 1821年柯西敌出版了仔《分析教程》,这是쥠第一次将数学分析建立在正砱式基础奯上。它为巴黎综合理工学院的学生礑设计,致力젠于尽可能⃘严格地发展微积分的基本定理。

      柯西是极限理论的集䜺大成者,他使得整个微积分理论建立在极限理论的基础之上,使分析学开始一步步走向严格化。可以宸说,分析学的历史发展是以柯西为分界线的,而dz后面的数学大师们都可看作是他的门徒。

      以严格化为目标,柯西对微积分的基本概念,如变量、函数、极限、连续性、导൭数、微分、收敛等等给出隽了明确的定义,并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。以下是柯좏西关于极限的定义ឿ:

      当属于一个变量的相继大的值无限地趋뒷近某个固定值时,鯭如果最终固褓定值之差可㎚以随意地小,那么这个裑固定值就称为所有这搢些值的极컫限。

      然而柯西的极限思想并不是没有缺陷卖的。极限理论在当时还只能꣬说是“比较严格”,人们不돳久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。例如,他用了许多骼“无限竡趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言。

      我们在这里不得不提到另外쭲一位传奇的分析学大师——魏尔斯特拉斯ห。

      为什么极限理论的建൪立需要实数理论?

      憽我们不妨开门见山,首先要问——我们的连续性是否需要实数?柯西列极限的存嵀在性是否需要폣实数?零点定理的保证是否也需要实数?

      如果数㦂系不是连续的,是渓离散的,꜅那么某些数列的极限是否存在就值得怀疑。匉

      我们知道,现代的极限定义是用实数来定义箊一个数列的极限值的。但是对于有理柯西列,放在有理数域,它的极限值就不一定蒫存在。

      ┕ 另外,我们⌔考虑介值定理,最简单的就是粺零点存在定理。想象一下一条曲线穿过数轴,直观的判断必然会有零䯺点存在吗?我们说,当然,ٔ怎么可能没옴有零点꿜存虏在呢。不过,我们这里已经默认这样一条数轴是连续的,这里就要纠结一下,撼这里的数是᷻什么,是单纯的有理数嘛?这时还没有实数。

      因为有理数尽管是稠酔密的,但它是离散的죍,而且无理数还没有纍被严格定义。如果不㵉严格定义实数,不是放在实数系㨧去考虑,那么单纯借助极限理论我们无法得到这样美妙且直观的定理。

      我们不禁要大声疾呼:깍

      连续性需要实数的严뽀格定义!

      柯西列极限的存在需要实数찹的严格定义!

      五 零点定理的保证也同样需要实数的严格定义!

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